Integrali indefiniti

Il calcolo dell'integrale indefinito riguarda il problema inverso a quello della derivazione: consiste cioè nella ricerca di tutte le funzioni la cui derivata sia uguale a una funzione assegnata. Questo problema è noto come ricerca delle primitive di una funzione.



Formulari sugli integrali:

Integrali indefiniti immediati - Formulario
Regole di integrazione - Formulario

Esercizi svolti sugli integrali indefiniti:

Integrali indefiniti immediati - Batteria 1 (14 esercizi svolti)
Integrali indefiniti immediati - Batteria 2 (27 esercizi svolti)
Integrali indefiniti di funzioni razionali fratte (15 esercizi svolti)
Integrali indefiniti per sostituzione (15 esercizi svolti)
Integrali indefiniti per parti (15 esercizi svolti)
Integrali indefiniti - Metodo di decomposizione in somma (3 esercizi svolti)
Integrali indefiniti - Esercizi di riepilogo (15 esercizi svolti)



54 commenti:

  1. Anonimo11:45

    Ciao Albert. Ho un dubbio su un integrale fratto con un polinomio di 4 grado al numeratore e di 3 grado al denominatore..penso di dover fare Ruffini,ma vorrei esser sicura..te lo posto sotto:
    x^4 - 3x^2 - 1 N

    x^3 - 1 D

    Ti ringrazio

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  2. Ciao,

    devi fare la divisione tra polinomi, perchè al numeratore hai grado superiore rispetto al denominatore...

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  3. Anonimo11:05

    Ciao Albert,
    potresti risolvere questi due integrali:

    x^2*sinx

    1/x*(3+logx)^2

    grazie

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  4. Ciao Anonimo,

    Il primo lo risolvi applicando per due volte il metodo di integrazione per parti: cominci derivando x^2, e integrando senx. Poi ti ritroverai con un altro integrale del tipo x*cosx (costanti e segni a parte): integri di nuovo per parti, derivando la x, e integrando cosx...

    Il secondo integrale è immediato, perchè 1/x è la derivata della funzione (3+logx), quindi il risultato è:

    1/3 * (3+logx)^3 + C

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  5. Anonimo19:19

    Ciao Albert. Ho notato che in questo sito è possibile chiedere e per fotuna aver anche risposta!!Ho problemi con questo integrale e vorrei,gentilmente,chiederti un aiuto. Ti metto l integrale:
    ∫(e^2x-2e^x+2)/(e^2x-2e^x+1) dx

    Ho notato che li denominatore ha delta=0 e quindi (e^x-1)^2,ma per il resto non capisco cm impostarlo.
    Ti ringrazio

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  6. Ciao Anonimo,

    ti conviene farlo per sostituzione, ponendo t=e^x, e quindi x=logt --> dx=(1/t)dt

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  7. Anonimo16:04

    ciao, avrei bisogno di un aiuto con questo integrale: (2x+5)/sqrt(25-x^2) grazie in anticipo

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  8. Anonimo18:57

    SEI UN GRANDE! Sono tra i migliori esercizi che ho trovato su internet, perché ci sono davvero tutti i passaggi, ma sono anche graduali! Grazie mille.

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  9. Grazie grazie!!

    Riguardo alla domanda precedente:

    int (2x+5)/sqrt(25-x^2) dx

    Lo separi in due parti:

    int (2x)/sqrt(25-x^2) dx + int 5/sqrt(25-x^2) dx =

    int (2x)(25-x^2)^(-1/2) dx + int 5/sqrt(25-x^2) dx

    Il primo è immediato, il secondo lo fai per sostituzione, con t=sqrt(25-x^2)

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  10. Albert davvero complimenti per questo ottimo sito!!
    Volevo chiederti, se puoi, come si svolge questo integrale:
    int di x^2 (log(3x) - e^2x) dx.
    Inoltre, mi chiede di determinare la primitiva che passa per il punto di coordinate (1/3, e), ma come bisogna svolgerlo?? Grazie tante Albert!!!

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  11. Ciao Rossella,

    int x^2 (log(3x) - e^(2x)) dx =

    int x^2 log(3x) dx - int x^2 e^(2x) dx =

    il primo lo fai per parti derivando log(3x) e integrando x^2, mentre il secondo lo fai per parti (2 volte) derivando x^2. Alla fine ottieni (vai al link):

    http://www.wolframalpha.com/input/?i=int++x^2+%28log%283x%29+-+e^%282x%29%29+dx

    Il risultato finale (che ha incognita C) lo poni uguale ad e, e al posto di x metti 1/3. Fai i conti e ottieni C.

    Sostituisci il valore trovato al posto di C, e hai così la funzione cercata.

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  12. Grazie tante!!! è stato davvero molto utile! :)

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  13. Anonimo19:24

    Ciao Albert,
    grazie per lo sforzo che ci da per aiutarci :)
    vorrei il tuo aiuto per risolvere sta problema :
    int. di e^x^2 ( e elevato x al quadrato)
    sono egizioano e ti ringarzio ancora ;)

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    1. Ciao, grazie!

      Bella domanda :) Qui trovi un aiuto:

      http://it.answers.yahoo.com/question/index?qid=20070225065137AAd57YB

      Un saluto all'Egitto!

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    2. Anonimo12:17

      :D :D l'Egitto ti saluta :D
      un'altra dom. per favore :
      l'integrale di : 1/(cosx*√(cos2x))

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    3. Eccolo qui:

      http://www.wolframalpha.com/input/?i=+int+1%2F%28cos%28x%29+sqrt%28cos2x%29%29+dx

      però non saprei spiegarti il procedimento, sembra abbastanza complicato...

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    4. Anonimo01:37

      grz mille :) pero' viene scritto solo la soluzione e nn e' scritto il procedimento

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  14. Anonimo18:03

    ciao albert, puoi risolvermi gentilmente questo integrale?
    integrale cosx/(sen^3x) dx grazie!

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    1. cosx/(senx)^3 si può scrivere:
      ((cosx)^3)/(senx)^3 * 1/(cosx)^2 =
      (tgx)^(-3) * 1/(cosx)^2

      Visto che 1/(cosx)^2 è la derivata di tgx l'integrale diventa:
      (tgx)^(-2) / (-2) +C =
      -1/2 (tgx)^(-2) +C

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  15. Anonimo13:07

    Ciao. Potresti dirmi come si calcola questo integrale: radice quadrata di e^x-1 (tutto sotto radice) in dx? Grazie anticipatamente.

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    Risposte
    1. Eccolo qui:

      http://www.wolframalpha.com/input/?i=int+sqrt%28e^x+-1%29+dx

      però non saprei spiegarti il procedimento, sembra abbastanza complicato...

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    2. Anonimo01:10

      potrei suggerire :)
      puoi sostituire (e^x-1)con (t),trovi che dx=dt/(e^x-1) cioe' dx=dt/t
      sostituendo troverai : integrale di √t/t in dt
      pertanto t^1/2 moltiplicata per t^-1,poi diventa tutto t^-1/2,applica la regola int x^a , dx = {x^{a+1}}/{a+1} + C alla fine sarebba 2√t+c sostituisci il valore della (t) otterrai la soluzione ;)
      la soluzione e' certamente discutabile
      buon lavoro :)

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    3. Infatti la sostituzione è la via giusta:
      rad(e^x-1)=t --> x=ln(t^2+1) --> dx=(2t)/(t^2+1) dt
      e l'integrale diventa una fratta:
      int t(2t)/(t^2+1) dt =
      int (2t^2)/(t^2+1) dt
      che da come risultato appunto:
      http://www.wolframalpha.com/input/?i=int+sqrt%28e^x+-1%29+dx

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  16. Anonimo22:04

    complimenti davvero albert ^^ ti ringrazio per la risoluzione! alla fine c'ero arrivato!! continua cosi! la matematica è uno stile di vita!
    Grazie ancora!
    by studente 5° anno ITI!
    p.s (sono il ragazzo che ti ha chiesto cos/sen^3x)

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    1. Grazie a te del bel commento! Ciao!

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  17. Anonimo22:43

    ciao a tutti
    vorrei chiedervi gentilmente quale tecnica usare quando devo risolvere integrali di questo tipo

    { 1/ (cosx)^3 dx oppure
    { (cosx - 3(cosx)^3 dx
    non saprei proprio da dove incominciare
    Grazie
    Walter

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    1. Sinceramente così su due piedi non saprei proprio...

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  18. ciao ! chiedo un aiuto per risolvere il seguente integrale indefinito : integrale (senx+cosx)/sen^3(x) dx .
    grazie mille .
    complimenti per la pagina, davvero utile :)

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    1. Ciao, grazie!

      int (senx+cosx)/(senx)^3 dx =
      int (senx)/(senx)^3 dx + int (cosx)/(senx)^3 dx =
      int 1/(senx)^2 dx + int (cosx)(senx)^(-3) dx =
      - int -1/(senx)^2 dx + (senx)^(-2) /(-2) =
      - cotgx -1/ (2(senx)^2) +C

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    2. Grazie mille, scusa il disturbo !:)

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  19. Ciao Albert, ho risolto questo integrale: int sen x fratto 3+cos al quadrato di x (3+cos al quadrato di x è il denominatore). Risolvendolo mi esce -arcocotg(cosx)+c è questo il risultato o ho sbagliato qualcosa??? grazie in anticipo e soprattutto grazie per la disponibilità

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    1. Viene -1/rad3 arcocotg((cosx)/rad3) +C

      perchè devi considerare il 3 al denominatore...

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    2. Chiedo scusa, arctg (e non arccotg):
      -1/rad3 arctg((cosx)/rad3) +C

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  20. non credo di averla capita.. puoi spiegare passo per passo come sei arrivato a quel risultato? grazie...

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    1. int (senx)/(3+(cosx)^2) dx =
      1/3 int (senx)/(1+(cosx/rad3)^2) dx =
      (la derivata di cox/rad3 è -senx/rad3)
      = (-rad3)/3 int (-senx/rad3)/(1+(cosx/rad3)^2) dx =
      = -1/rad3 int (-senx/rad3)/(1+(cosx/rad3)^2) dx =
      = -1/rad3 arctg((cosx)/rad3) +C

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  21. Anonimo09:04

    ciao mi piace un sacco questo sito in molte cose mi ha aiutato ma ho un problema con questo integrale, come si risolve?
    ∫(x^2-3x+2)dx

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    1. int (x^2 -3x +2) dx =
      = 1/3 x^3 -3/2 x^2 +2x +C

      se vedi la batteria 1 di questa sezione trovi molti esercizi simili

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  22. ciao, ho trovato questo sito molto interessante però ho dei dubbi su un'esercizio, come si risolve?

    INT 1/(5x-3)^5

    grazie.

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    1. è immediato, scrivi la funzione integranda come (5x-3)^(-5):

      int (5x-3)^(-5) dx =
      1/5 int 5(5x-3)^(-5) dx =
      1/5 ((5x-3)^(-4))/(-4) +C =
      -1/(20(5x-3)^4) +C

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  23. ciao potresti aiutarmi con questo integrale radice cubica di 4x+3 dx con 4x+3=t

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    1. Ti conviene porre:

      radice cubica di 4x+3 = t
      4x + 3 = t^3
      x = (t^3-3)/4
      dx = 3/4 t^2 dt

      Diventa:

      int t * 3/4 t^2 dt =
      3/4 int t^3 dt =
      = 3/4 * 1/4 t^4 +C =
      = 3/16 t^4 +C = ...

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  24. ciao, complimentissimi per il sito!! ho un problema non riesco a capire questo integrale... potresti aiutarmi? grz anticipatamente! (e^x)/sqrt(e^(2x)+1)

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    1. Grazie Giovanni!

      Sostituisci e^x=t, e ti resta:

      int 1/sqrt(t^2+1) dt = arcsenh (t) +C

      = arcsenh (e^x) +C

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  25. Ciao Albert.
    Non riesco a risolvere questi due integrali. E' una media di una potenza nell'unita' di tempo, unita' di volume e unita' di frequenza.
    Le costanti le ometto tanto non centrano nell'integrazione.
    La forma e':
    E= costanti * { [int e^(- (m v^2 /2kT )) * v dv] / [int e^(- (m v^2 /2kT )) * v^2 dv]}

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  26. Ciao Albert.
    Mi potresti spiegare come si studia la convergenza di un integrale?
    Ho l'esame di analisi 1 la settimana prossima e sto impazzendo!

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  27. Ciao Albert
    Mi potresti risolvere l integrale cosx senx dx? e da fare per parti ma mi esce 1 coso improponibile grazie!!

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  28. mi potete x favore svolgere questi due integrali: 1) e^x/1+3e^x e 2) x^2/(2x^3-4)^3?

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  29. mi potete x favore svolgere questi due integrali: 1) e^x/1+3e^x dx e 2) x^2/(2x^3-4)^3 dx?

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  31. Ciao Albert :)
    Sono bloccato con questi due integrali, puoi aiutarmi per favore?

    1
    ---------------
    x(rad. di 1 - log^2 per x)

    1
    ---------------
    x(logx)^2/3

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  32. Ciao Albert,
    vorrei sapere le soluzioni di questi integrali per un confronto. Grazie :)

    rad di x/ rad cubica di x

    x(x^2+3)^3

    senx(1+cosx)

    e^2x/ 3-e^2x

    x^2cos(x^3+2)

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  33. Ciao Albert! Potresti aiutarmi con questo integrale?

    N 5x-9
    D x^2-4x+3

    Grazie in anticipo!

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  34. ciao Albert. vorrei chiederti gentilmente se puoi farmi una lezione veloce e comprensibile sugli integrali partendo dalle origini. vorrei comprendere di più l argomento.(no so praticamente cosa sia un integrale!!!)
    grazie!!
    lorenzo

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  35. ciao. potreste aiutarmi con questo integrale x^3 radice2x^2-3
    che metodo si deve usare??

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