Limiti di funzioni

Il limite di una funzione è uno dei concetti fondamentali dell'analisi matematica. Tramite questo concetto viene formalizzata la nozione di funzione continua e di punto di discontinuità. Serve inoltre a definire la derivata ed è quindi basilare per tutto il calcolo differenziale. Il limite di una funzione f in un punto Xo indica il valore "a cui si avvicinano sempre di più" i valori della funzione quando viene calcolata in punti sempre più vicini ad Xo. [Fonte: Wikipedia]



Formulari sui limiti di funzioni:

Limiti notevoli - Formulario

Esercizi svolti sui limiti di funzioni:

Limiti di funzioni - Applicare la definizione (32 esercizi svolti)
Limiti di funzioni - Operazioni sui limiti 1 (24 esercizi svolti)
Limiti di funzioni - Operazioni sui limiti 2 (8 esercizi svolti)
Limiti di funzioni razionali intere (4 esercizi svolti)
Limiti di funzioni razionali fratte - Batteria 1 (4 esercizi svolti)
Limiti di funzioni razionali fratte - Batteria 2 (4 esercizi svolti)
Limiti di funzioni composte - Batteria 1 (4 esercizi svolti)
Limiti di funzioni composte - Batteria 2 (4 esercizi svolti)
Limiti notevoli - Batteria 1 (4 esercizi svolti)
Limiti notevoli - Batteria 2 (4 esercizi svolti)
Limiti di funzioni - Forme indeterminate (4 esercizi svolti)
Limiti di funzioni - Esercizi di riepilogo (4 esercizi svolti)
Limiti di funzioni - Infinitesimi (4 esercizi svolti)
Limiti di funzioni - Infiniti (4 esercizi svolti)
Derivate e limiti - Regola di De L'Hopital (6 esercizi svolti)
Derivate e limiti - Sviluppi in serie di Taylor e McLaurin 1 (2 esercizi svolti)
Derivate e limiti - Sviluppi in serie di Taylor e McLaurin 2 (2 esercizi svolti)

76 commenti:

  1. Anonimo14:01

    ciao, potresti risolvere questi due limiti:
    lim x->0 x^2/log(x^3+1)

    lim x->0 sin(log(x+1))/x

    P.S:complimenti per il sito, fatto molto utile e davvero utile!

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  2. Ciao Anonimo,

    1)
    lim x->0 x^2/log(x^3+1) = 0/0
    è una forma indeterminata del tipo 0/0 e uso De L'Hopital:

    lim x->0 x^2/log(x^3+1) =
    lim x->0 (2x)/((3x^2)/(x^3+1)) =
    lim x->0 (2x^3 + 2)/(3x)= 2/0 = infinito

    2)
    lim x->0 sin(log(x+1))/x = 0/0
    è una forma indeterminata del tipo 0/0 e uso De L'Hopital:

    lim x->0 sin(log(x+1))/x =
    lim x->0 cos(log(x+1))*(1/(x+1))/1 =
    lim x->0 (cos(log(x+1)))/(x+1) =
    lim x->0 (cos0)/1 = 1/1 = 1

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    1. ciao potresti per favore risolvermi questo limite
      limx->0+ xln(x+1/x) + ln(e^x-1)/lnx

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  3. Anonimo10:52

    Albert scusa
    ho questa funzione: 5e^x / 2x^ - 1.
    il limite per x-> + inf mi potresti dire come si risolve? Esce la forma indeterminata inf/inf, ma non riesco ad andare avanti! Grazie in anticipoo :)

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  4. Anonimo11:12

    Albert riguardo la funzione di prima è 5e^x / 2x^2 - 1. avevo dimenticato un due. Comunque, se puoi, potresti svolgere anche l'insieme di definizione, i limiti e la derivata cortesemente? Grazie mille..

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  5. - Il limite si fa con de l'hopital applicato due volte. Alla prima ti resta

    5e^x / 4x

    e alla seconda volta

    5e^x /4 = +inf

    - Il dominio è R tranne i punti in cui si annulla il denominatore, ovvero x=+-(rad2)/2

    - La derivata la trovi qui:
    http://www.wolframalpha.com/input/?i=der+%285e^x+%29%2F+%282x^2+-+1%29

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  6. Albert devo fare il limite e la derivata di questa funzione:
    (x-1)e^-|x-1|. Potresti aiutarmi? Con il limite che da inf/inf non riesco ad applicare nessuna regola.. Grazie in anticipo

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  7. - Limite per x che tende a +-inf:

    lim (x-1)e^-|x-1| =
    lim (x-1)/e^|x-1| = [inf/inf]
    Puoi usare De L'Hopital nei due casi. Per x-->+inf:
    lim (x-1)/e^|x-1| =
    lim (x-1)/e^(x-1) =
    lim 1/e^(x-1) = [1/+inf] = 0+
    Per x-->-inf:
    lim (x-1)/e^|x-1| =
    lim (x-1)/e^(-x+1) =
    lim 1/-e^(-x+1) = [1/-inf]= 0-

    Derivata: fai i due casi. Per x<1:
    f(x)=(x-1)e^-(-x+1)
    f(x)=(x-1)e^(x-1)
    Facendo i conti:
    f'(x)=xe^(x-1)
    Per x>=1:
    f(x)=(x-1)e^-(x-1)
    f(x)=(x-1)e^(1-x)
    Facendo i conti:
    f'(x)=(2-x)e^(1-x)

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  8. Anonimo16:32

    ciao potresti per favore risolvere questo limite ? per x che tende a infinito ..radice di x - lnx \x-arctgx
    alllora io ho trascurato al numeratore il logaritmo,al denominatore cosa devo trascurare?? è molto urgente..grazie mille davvero

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  9. La funzione arctg(x) è limitata tra -1 e 1 quindi la puoi trascurare, e il limite risulta 1.

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  10. Anonimo19:38

    determinare il valore di alfa maggiore di zero tale che il limite per x che tende a omeno di sen^3x +1 -cosx + radice di tgx \ x ^alfa sia uguale a zero...ti ringrazio in anticipo!!!

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  11. Ciao Anonimo,

    mi dispiace, ma così come l'hai scritto non si riesce a capire il testo dell'esercizio: metti un po' di parentesi in modo che si riesca a capire qual'è l'esponente del seno, e quale il suo argomento...

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  12. Anonimo15:54

    Ciao Albert mi daresti una mano con questo limite:
    sqrt(x^2-x)-xsin(1/x) x->∞
    grazie!!

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  13. Anonimo17:00

    Albert come lo risolvo:
    lim x->0 ((1\x)+lnx)
    grazie!!

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  14. lim x->0 (1\x +lnx) = [inf-inf]
    che una forma indeterminata.

    Faccio il comune denominatore:
    lim x->0 (1\x +lnx) =
    lim x->0 (1+xlnx)/x =

    Ora mi occupo della forma indeterminata:
    lim x->0 (xlnx) = [0*inf]
    lim x->0 (xlnx) =
    lim x->0 (lnx)/(1/x) = [inf/inf]
    applico de l'hopital:
    lim x->0 (lnx)/(1/x) =
    lim x->0 (1/x)/(-1/x^2) =
    lim x->0 (1/x)*(-x^2) =
    lim x->0 (-x) = 0

    Quindi:
    lim x->0 (1+xlnx)/x =
    lim x->0 (1+0)/0 = 1/0 = +inf

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  15. lim x->∞ sqrt(x^2-x)-xsin(1/x)

    è una questione di raccoglimenti:

    lim x->∞ sqrt(x^2-x)-xsin(1/x) =
    lim x->∞ sqrt(x^2 (1-1/x))-xsin(1/x)=
    lim x->∞ x sqrt(1-1/x) -xsin(1/x) =
    lim x->∞ x (sqrt(1-1/x)-sin(1/x)) =
    lim x->∞ x (1-0) =
    lim x->∞ x = ∞

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  16. Anonimo19:54

    Albert scusa sono in crisi con questo limite:
    (2sqrt(1+x)-e^(x)-1)/x^2
    domani esame...Grazie!!

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  17. Spero di non essere tardi allora... però non hai specificato a cosa tende x:

    Se x tende a zero come immagino, basta usare de l'hopital due volte:

    (1/sqrt(1+x) -e^(x)) / (2x) =
    (-1/(2(sqrt(1+x))^3) -e^(x))/2=
    = (-1/2-1) /2 = -3/4


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  18. Anonimo10:59

    si tende a 0...l'esame è pomeriggio
    grazie mille!!!!

    RispondiElimina
  19. Bene, allora in bocca al lupo!

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  20. Anonimo20:53

    ciao potresti per favore risolvere questo limite ?:
    (1/(1-cosx)-2/x^2) x->0

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    1. Ti dico la verità: viene 1/6 ma non so perchè...

      http://www.wolframalpha.com/input/?i=lim+x-%3E0+1%2F%281-cosx%29+-2%2Fx^2

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    2. Anonimo19:21

      Grazie lo stesso ! io l'ho risolto con lo sviluppo di taylor !

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    3. Grazie di avercelo segnalato, ci avevo provato anch'io, ma non veniva 1/6...

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  21. Ciau mi complimenti anch'io per il sito e se posso domando un limite:

    per x che tende a infinito ln(1+3e^x)-x, viene la forma differenza di infini con lo stesso segno. Non mi pare si possano fare messe in evidenza nè tantomeno applicare asintotiche equivalenze :(

    RispondiElimina
    Risposte
    1. Ciao! Raccogli e^x dentro l'argomento del logaritmo, poi sai che il log di un prodotto è la somma dei log dei fattori, quindi ottieni:

      lim ln(e^x) +ln(1/e^x +3) -x
      lim xln(e) +ln(1/e^x +3) -x
      lim x +ln(1/e^x +3) -x
      lim ln(1/e^x +3) = ln(3)

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  22. Anonimo16:32

    ciao albert! mi risolvi questo limite?
    lim(x-->+inf) di e^(x-x^2)

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    Risposte
    1. lim(x-->+inf) di e^(x-x^2) =
      lim(x-->+inf) di e^((1/x-1)x^2) =
      lim(x-->+inf) di e^((0-1)x^2) =
      lim(x-->+inf) di e^(-x^2) =
      = e^(-inf) = 0

      Elimina
  23. Anonimo17:32

    Ciao Albert, potresti aiutarmi con questo limite?
    lim(x-->0) di x^2 e^1/x^2
    mi viene la forma inderminata 0 per inf e ho provato con la regola di dividere numer e denom per il termine che tende a 0, ma non mi esce!
    Grazie in anticipo

    RispondiElimina
  24. Io porrei t=1/x^2 che tende a infinito per x che tende a zero, quindi il tuo limite è uguale a:

    lim(t-->inf) di e^t / t^2 = [inf/inf]

    Vai 2 volte con de l'hopital ottenendo

    lim(t-->inf) di e^t / 2 = infinito

    RispondiElimina
  25. Rossella16:52

    Ciao Albert!! Ho difficoltà con questo limite! Puoi aiutarmi?
    lim (x--> +- 1/rad2) di 5e^x / (2x^2-1).
    Inoltre, per il lim-->-inf mi esce inf, invece dovrebbe dare 0. Un'ultima cosa..in questa funzione devo calcolare anche il lim che tende a 0? Nel dominio non è escluso 0?
    Grazie mille!!!!

    RispondiElimina
    Risposte
    1. Ciao,

      lim (x--> +- 1/rad2) di 5e^x / (2x^2-1) =
      = numero / zero = infinito

      lim (x--> -inf) di 5e^x / (2x^2-1) =
      = zero / infinito = zero

      Per x=0 la funzione vale -5, non ci sono discontinuità

      Elimina
  26. Anonimo18:01

    Ciao Albert!
    Ho questo limite: rad cubica di x^3-1. Per +-inf il risultato è direttamente inf per entrambi? Grazie tanteee!! :)

    RispondiElimina
    Risposte
    1. Anonimo18:05

      devo calcolare anche l'asintoto obliquo..facendo f(x) fratto x quindi,ho messo in evidenza x^3 al numeratore dentro la radice..ma non riesco più a continuare!!!

      Elimina
    2. - Per x->+inf f(x) tende a +inf
      - Per x->-inf f(x) tende a -inf

      - Si poi porti fuori x^3 e al numeratore ti resta x (che si semplifica col denominatore) per la radice di (1-0) quindi m=1

      Elimina
    3. Anonimo17:25

      scusa, ma come faccio a portare x^3 fuori? Anche se lo facessi, mi rimane comunque senza che lo possa semplificare! Dov'è il mio erroree?? Grazie..

      Elimina
    4. rad(3) di x^3-1 =
      = rad(3) di x^3 (1 -1/x^3) =
      = x rad(3) di (1 -1/x^3)

      Elimina
  27. Anonimo09:59

    Ciao devo fare questo esercizio
    Classificare la discontinuità della funzione
    f(x)= x+1/x^2-1 nel punto x= -1

    RispondiElimina
    Risposte
    1. fai
      lim (x->-1) f(x) = [0/0]
      = lim (x->-1) x+1/((x+1)(x-1)) =
      = lim (x->-1) 1/(x-1) = -1/2

      ed è quindi una discontinuità di terza specie

      Elimina
  28. Anonimo09:33

    scusami se ti disturbo ma come si svolgono questi esercizi?
    - lim (x-> infinito) x^2/e^x
    - lim (x-> - infinito) 2x^4+2x^3+3 / x^5 -3x+2
    - lim (x-> - infinito) x^5-1 / x^7+1

    RispondiElimina
    Risposte
    1. Il primo lo risolvi con de l'hopital (2 volte): vince l'infinito al denominatore e il limite va a zero

      Gli altri due sono funzioni razionali fratte: raccogli la x di grado massimo al numeratore e denominatore ottenendo zero in entrambi i casi (i denominatori hanno grado superiore). Qui hai vari esempi simili:

      http://www.matepratica.info/2012/02/limiti-di-funzioni-razionali-fratte.html

      http://www.matepratica.info/2012/02/limiti-di-funzioni-razionali-fratte_24.html

      Elimina
  29. Anonimo22:45

    scusa albert ma il limite per x--->inf di ln x+1/(x-1)alla seconda quanto viene? (a me viene 1 )

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    Risposte
    1. no, se ho capito bene il testo viene ln(0)=-inf

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  30. Anonimo17:09

    Albert non riesco a calcolare questo limite!!!
    lim per x-->+inf di x/2 [(rad di 9x^2-3x+5/x+1)-3]
    Dovrebbe uscire la forma inderminta inf/inf ma sono bloccata!!! Ho provato a razionalizzare ma non riesco..se puoi darmi un aiuto spiegandomi i passaggi!!
    Grazie tanteee

    RispondiElimina
    Risposte
    1. La radice va a infinito, perchè il numeratore del radicando ha grado superiore del denominatore (vediti le razionali fratte). Nella quadra inf-3=inf, quindi inf*inf = infinito

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  31. Anonimo17:48

    Ciao.. potresti per favore aiutarmi a risolvere questo limite per x->o lim[log( cos(x^2*2^1/2))- xsinx+x^2]/x^4/6... grazie mille...complimenti per il sito...molto utile davvero...

    per specificare meglio l'argomento del coseno è "radice quadrata di due" *x^2 .. grazie ancora

    RispondiElimina
  32. Anonimo17:59

    e al denominatore abbiamo (x^4)/6 ...scusa

    RispondiElimina
    Risposte
    1. usa mclaurin:
      http://www.math.it/formulario/sviluppiMcLaurin.htm

      ti viene

      lim(x->0) [log(cos(rad2 x^2))- xsinx +x^2] / ((x^4)/6) =
      lim(x->0) [log(1+x^4)- x^2 +x^2] / ((x^4)/6) =
      lim(x->0) [x^4] / ((x^4)/6) = 6

      Elimina
  33. Aiutooo :D
    lim x->0 log^2(x)-3log(x)-4

    RispondiElimina
    Risposte
    1. (-inf)^2 -3(-inf) -4 =
      = +inf +inf -4 = +inf

      Elimina
  34. ciao :)
    ho 2 domande : lim per x che tende a infinito di 2^x per sen(n/2^x)
    2) lim per x che tende ad alfa di (sen^3)x-(sen^3)alfa/(x+alfa)
    chi mi puo aiutare :D

    RispondiElimina
    Risposte
    1. 1) lim (x->inf) 2^x sen(n/2^x) = [inf*0]
      lim (x->inf) sen(n 2^(-x)) / 2^(-x) = [0/0]

      t=2^(-x) -> t->0

      lim (t->0) sen(nt) / t = (De L'hopital)
      lim (t->0) ncos(nt) / 1 = n * 1 = n

      2) Proverei a farlo con Mc Laurin ponendo t=x-alfa in modo che t tenda a zero, e (sen(t+alfa))^3=(t+alfa)^3

      Elimina
  35. Salve! Prima di tutto complimenti per il sito, è davvero ben fatto e l'ho trovato utilissimo per esercitarmi.
    Ho un piccolo problema con questo limite:
    Lim x-->+inf [(e^2x-e^x+senx)/(x^3-x^2)]
    Secondo il software wolfram alpha il risultato dovrebbe essere -inf, ma a me viene +inf.
    Io lo risolvo così:
    metto in evidenza e^x al numeratore e x^3 al denominatore:
    Lim [e^x(e^x-1+(senx/e^x))]/[x^3(1-(1/x))]
    così avrò
    Lim(e^x/x^3)Lim[(e^x-1+(senx/e^x))/(1-(1/x))]
    Il primo è un limite notevole e vale +inf, il secondo equivale a:
    (+inf-1-0)/(1-0) quindi= +inf
    Il mio risultato finale è quindi:
    (+inf)(+inf)=+inf
    Dov'è che sbaglio?
    Grazie :)

    RispondiElimina
    Risposte
    1. Non sbagli:

      http://www.wolframalpha.com/input/?i=lim+%28x-%3E%2Binf%29+%28%28e^%282x%29+-e^x+%2Bsinx%29+%2F+%28x^3+-x^2%29%29

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    2. Grazie, che sbadata :)

      Elimina
  36. Ciao, sapresti aiutarmi con questo limite?
    lim x --> -00 [log(1+e^(-x))-1+e^(-|x|)]/x

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    Risposte
    1. lim (x->-inf) [log(1+e^(-x))-1+e^(-|x|)]/x =

      lim (x->-inf) (log(1+e^(-x)))/x -1/x +(e^(-|x|))/x

      lim (x->-inf) (log(1+e^(-x)))/x +0 +0/(-inf) =
      lim (x->-inf) (log(1+e^(-x)))/x =

      ...e questo lo risolvi con de l'hopital

      Elimina
  37. Come si dimostra che il seguente limite vale zero? De l'Hopital non aiuta molto....
    lim (3^sqrt(x)) / (2^x + 5)
    per x->+infinito

    grazie

    RispondiElimina
    Risposte
    1. Non saprei proprio...mi dispiace! Se trovi la soluzione magari pubblicala qui :)

      Elimina
  38. ciao mi aiuteresti a risolvere questo limite?
    x*{e^[(x+1)/|x|]} per x -->0 da SINISTRA e da DESTRA....grazieeeee

    RispondiElimina
    Risposte
    1. Visto che x->0 proverei a usare le formule di Mc Laurin...

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  39. ciao albert complimenti per il sito, potresti aiutarmi con questo limite?
    [1-cos(7/n)]*sqrt(1+n^4a)*ln(1+1/n^2) con n--->infinito
    a:parametro reale
    grazie dell'attenzione

    RispondiElimina
    Risposte
    1. Ciao Massimiliano, grazie, perdonami ma è troppo lungo risolverlo qui... cumunque proverei a porre 1/n=t (quindi n->0) e poi proverei ad usare Mc Laurin.

      Elimina
  40. Ciao Albert complimenti per il sito;
    potresti aiutarmi con questo limite
    lim log^2x/logx+1
    x--0+

    RispondiElimina
    Risposte
    1. con de l'hopital:

      lim (2logx * 1/x) / (1/x) =
      lim 2logx = -inf

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  41. Salve, potrebbe dirmi come impostare tale limite e il risultato?

    lim per x tendente a 0 di log(-3cos^2(x)-cos(x)+5) tutto fratto xsen(7x/2 + pi greco)

    grazie mille

    RispondiElimina
    Risposte
    1. userei gli sviluppi in serie di mcLaurin:
      http://www.math.it/formulario/sviluppiMcLaurin.htm

      Elimina
  42. Salve!per favore potrebbe aiutarmi con questi due limiti?
    il primo è: lim per x che tende a 2+ di log(x-2)tutto diviso X^2-4
    il secondo è:lim per x che tende a 27 di x-27 il tutto diviso per (x^1/3)-3

    grazie infinite

    RispondiElimina
    Risposte
    1. Entrambi con de l'hopital ;)

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  43. Ciao potresti aiutarmi con questo limite?
    lim x->+infinito 2 elevato a (-x^3+3)/x

    RispondiElimina
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    RispondiElimina
  45. Ciao Albert! Innanzitutto complimenti per il sito!
    Volevo sapere se potevi aiutarmi con questo limite!
    lim (3x - cos x^2 ) / (2x + sin^2 x)
    per x -> infinito
    Ringrazio anticipatamente! :D

    RispondiElimina
  46. Ciao Alberto,
    Complimenti per il sito, potresti risolvere questi due limiti:
    limite x tende a + infinito di 2x^2 + 3/x^2 +1 e verificare il risultato utilizzando la definizione di limite
    limite x tende a 0+ di 1/2e^x - 2

    RispondiElimina
  47. ciao potresti per favore risolvermi questo limite
    limx->0+ xln(x+1/x) + ln(e^x-1)/lnx

    RispondiElimina
  48. Potresti risolvere lim per x che tende a0 di (cos^3x -1+x cosx)/(senx-3x)

    RispondiElimina
  49. Ciao Albert,
    la questione in generale è:
    se riesco a risolvere una forma indeterminata con due metodi il risultato dovrebbe venire lo stesso. E perché, secondo te, ultimamente sto incontrando funzioni che risolte con de L'H, per es, danno una soluzione e con gli infiniti ne danno un'altra?
    Grazie per la risposta

    RispondiElimina